非凸变分不等式——基本理论、数值分析及应用 姚斯晟,邱栎桦,杨昌波著 2024 科学出版社

在当代非线性分析与应用数学的研究体系中，变分不等式「Variational Inequalities」已成为连接优化理论、偏微分方程与工程应用的重要桥梁。而当研究从经典“凸性假设”迈向更加复杂的现实问题时，“非凸”结构的引入则标志着理论难度与应用深度的显著提升。在这一背景下，2024年由非凸变分不等式——基本理论、数值分析及应用一书的出版，无疑为该领域提供了一部具有系统性与前沿性的学术著作📘。

一、研究背景：从凸到非凸的范式跃迁 🔍

经典变分不等式理论大多建立在凸分析框架之上，其良好的几何结构保证了解的存在性与唯一性，并使数值算法具有稳定的收敛性。然而，现实世界中的诸多问题——如摩擦接触力学、非线性材料行为、复杂控制系统等——往往天然具有「非凸性特征」。

例如，在弹塑性力学中，材料的屈服面可能呈现非凸结构，此时传统凸分析方法将失效。本书正是从这一关键科学问题出发，通过引入非凸分析工具，系统拓展了变分不等式理论的适用范围。

二、内容结构：理论—算法—应用的三位一体体系 🧠

本书的核心贡献可以概括为三个层面：

1️⃣ 基本理论：非凸分析框架的构建

作者首先从凸分析出发，引入「近似次微分（approximate subdifferential）」等工具，逐步建立非凸分析的基础结构。这种处理方式具有明显的“过渡性”优势，使读者能够在已有知识体系上自然过渡到更复杂的非凸情形。

尤其值得强调的是，书中系统讨论了：

• 非凸变分不等式的「解的存在性与唯一性」
• 非凸集合上的变分结构刻画
• 与不动点问题、变分包含问题之间的等价关系

这一部分为后续算法设计提供了坚实的理论支撑。

2️⃣ 数值分析：投影算法与收敛性理论 ⚙️

在数值方法方面，本书针对传统投影算法在非凸情形下可能出现的理论漏洞，进行了系统修正，并提出了新的迭代框架：

• 自适应惯性投影算法（adaptive inertial projection）
• 基于等价变换的不动点迭代方法
• 收敛性分析（包括弱收敛与强收敛）

📌 「示例说明：」

考虑如下非凸变分不等式问题：

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在集合 上寻找 ，使得

❞

当 () 非凸时，传统投影 () 可能不再唯一。本书通过构造“广义投影映射”，并结合不动点理论，将问题转化为：

其中 (T) 为适当构造的非线性算子。借助Banach不动点定理，可证明在一定条件下序列 () 收敛于解 。

这一思路体现了“结构转化 + 算法设计”的典型研究范式。

3️⃣ 应用建模：力学问题中的非凸变分结构 🏗️

本书的一大特色在于将抽象理论与具体应用深度结合，尤其是在「弹塑性摩擦接触问题」中的应用：

• 构建非凸屈服面模型
• 建立带时滞的拟定常变分不等式
• 结合热力学原理进行建模

📌 「具体例子：」

在摩擦接触问题中，接触区域与摩擦力之间的关系往往满足非线性约束：

• 接触力不为零 ⇔ 位移满足约束
• 摩擦力满足非光滑、非凸条件

此类问题可建模为非凸变分不等式，通过本书提出的算法可实现数值求解。

三、方法论意义：跨领域的统一语言 🌐

变分不等式不仅是数学问题，更是一种“统一建模语言”。例如：

• 金融中的最优停止问题可转化为变分不等式
• 控制理论中的约束优化问题同样具有变分结构
• 生物系统中的稳态分析亦可通过类似框架刻画

而非凸性的引入，使这一语言更加贴近现实复杂系统。

四、学术评价与适用对象 🎓

从整体上看，本书具有以下几个显著特点：

✔ 理论严谨：以非凸分析为核心，逻辑闭合

✔ 方法创新：修正传统投影方法的理论缺陷

✔ 应用导向：紧密结合力学与工程问题

✔ 层次清晰：从基础到前沿逐步展开

📌 「适合读者：」

• 应用数学、计算数学方向研究生
• 从事非线性分析、优化理论的科研人员
• 工程力学、材料科学中的建模研究者

五、总结：迈向复杂系统建模的重要一步 🚀

总体而言，非凸变分不等式——基本理论、数值分析及应用不仅填补了非凸变分不等式系统性教材的空白，更在理论深度与应用广度之间取得了良好平衡。

在未来，随着复杂系统科学、智能优化与多尺度建模的发展，非凸结构将成为常态，而非例外。本书所提供的理论工具与数值方法，无疑将在这一进程中发挥重要作用。

📈 可以预见，该书将成为非凸分析与变分方法研究的重要参考文献之一，并为相关领域的交叉研究提供坚实支撑。

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非凸变分不等式——基本理论、数值分析及应用

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