图论与代数结构 第2版 崔勇, 张小平 2023 清华大学出版社

在人类试图理解“关系”的漫长历史中，图论与代数结构始终像两位性格迥异却又彼此依赖的角色：一个关注“连接”，另一个执着于“规则”。把它们强行拉到同一本教材里，本身就带着一点理性世界的浪漫意味。而《图论与代数结构（第2版）》（崔勇、张小平，清华大学出版社，2023）正是这样一本试图把抽象与结构统一起来的典型教材——当然，这种“统一”背后，少不了读者的大量脑力劳动，这是你躲不掉的现实。📘

一、从离散世界出发：结构的语言

本书属于典型的“离散数学核心教材”，内容覆盖图论与代数结构两大板块，是计算机科学、算法设计乃至现代数据科学的重要数学基础。全书大致分为三部分：

• 图论（第1–6章）
• 代数结构（第7–8章）
• 图论编程实验（第9章）

这样的结构安排看似朴素，实则非常“工程化”：先理解抽象对象，再掌握结构性质，最后落实到算法与实现。换句话说，它并不满足于让你“懂”，还希望你“能用”，这就比很多纯数学教材多了一点现实主义的压力。

二、图论部分：从点与边到复杂网络

图论的核心研究对象，是由“顶点（vertex）”和“边（edge）”构成的结构。听起来像儿童积木，但一旦你开始认真推理，就会发现它的复杂程度远超直觉。

例如，一个经典问题： 「欧拉回路（Eulerian Circuit）」

问题描述： 是否存在一条路径，使得图中每条边恰好经过一次并回到起点？

本书会给出一个极其优雅的判定条件：

❝

一个连通图存在欧拉回路，当且仅当所有顶点的度数都是偶数。

❞

举个简单例子🌐： 考虑一个四个顶点构成的正方形，每个顶点连接两条边（度为2）。由于所有顶点度数均为偶数，因此该图存在欧拉回路。

但如果你随手多加一条对角线，某些顶点度数变成3，恭喜，这个性质瞬间崩塌。图论就是这么“脆弱又精准”。

三、树与算法：看似简单的结构，实际支撑世界

在图论中，“树”是一类极其重要的结构。

定义： 一个连通且无环的图称为树。

它的一个关键性质：

❝

若一个图有 (n) 个顶点，则树恰有 (n-1) 条边。

❞

这听起来像考试题，但实际上，它是计算机科学的基础。

例如：

• 最小生成树（Minimum Spanning Tree）用于网络设计
• 文件系统结构本质是树
• 决策树用于机器学习

一个简单例子🌲：

给定加权图：

• A–B: 1
• B–C: 2
• A–C: 3

最小生成树选择边 A–B 和 B–C，总权重为 3，而不是直接选 A–C（权重3）加其他边。

这种“局部最优 → 全局最优”的逻辑，正是算法设计的核心思想之一。

四、代数结构：从“操作”到“规律”

如果说图论研究“关系”，那么代数结构研究“运算的本质”。

本书主要涉及：

• 群（Group）
• 环（Ring）
• 基本代数系统

最经典的例子就是“群”的定义：

一个集合 (G) 配合运算 (*)，若满足：

1. 封闭性
2. 结合律
3. 单位元存在
4. 逆元存在

则称其为群。

举个不那么无聊的例子🔢：

整数集合 () 在加法下构成群：

• 封闭：任意整数相加仍为整数
• 单位元：0
• 逆元：每个数都有相反数

但如果换成“乘法”，问题就来了： 2 没有整数逆元（1/2不在整数中），所以它不构成群。

这种微妙的“规则失效”，正是代数结构的魅力所在。

五、图论 × 代数：真正的交汇点

本书最有价值的地方，不只是分别讲图论和代数，而是隐含了它们的交叉思想。

例如： 「邻接矩阵（Adjacency Matrix）」

对于一个图，可以用矩阵表示：

这个矩阵不仅描述结构，还可以通过线性代数方法分析图的性质，例如路径数量、连通性等。

这正是“代数图论”的基本思想： 用代数工具研究图结构。

六、编程实验：理论终于要落地了

第9章的图论编程实验，是本书相比传统教材的一大亮点。

它意味着一件事： 你不能再假装“理解了”，你必须让计算机也理解。

例如：

• BFS（广度优先搜索）
• DFS（深度优先搜索）
• 最大流算法

这些算法不仅是考试重点，更是现实世界中的核心工具：

• 社交网络分析
• 推荐系统
• 路径规划

七、教学风格：冷静、系统、甚至有点无情

本书的特点可以概括为：

• 例题丰富，强调证明方法
• 习题分层，适合不同水平读者
• 强调编程实践

换句话说，它不是那种“温柔讲故事”的数学书，而更像一位逻辑严密的教授： 不讨好你，但绝对认真负责。

八、总结：谁应该读这本书？

这本书适合以下人群：

• 计算机科学专业学生 💻
• 数据科学与算法研究者 📊
• 对结构化数学感兴趣的人

如果你只是想“随便了解一下数学”，那它会让你迅速怀疑人生。

但如果你愿意认真投入，你会发现： 图论提供结构，代数提供语言，而这本书试图让你理解它们之间的深层联系。

这件事本身，就比大多数“速成知识”更有价值。

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图论与代数结构 第2版

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